विविध प्रश्रावली अध्याय 1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन किसका
उपसमुच्चय है, इसका निर्णय कीजिए:
A = x : x ∈R तथा x2 - 8x + 12 = 0 को संतुष्ट करने वाली सभी वास्तविक संख्याएं = x}, B = {2, 4, 6}, C = 2, 4, 6, 8 ), D = (6).
हल:
A = {x : x ∈ R, x समीकरण x 2 - 8x + 120 को संतुष्ट करता है। अर्थात्
A = {2, 6}
B = {2, 4, 6} ।
C = {2, 4, 6, 8....}
D = {6}
(i) समुच्चय A के अवयव 2, 6 समुच्चय B में भी हैं।
Ac B.
(ii) इस प्रकार समुच्चय A के अवयव 2, 6 समुच्चय C में भी है।
A c C.
(iii) समुच्चय B के अवयव 2, 4, 6 समुच्चय C में हैं।
B CC.
(iv) समुच्चय D का अवयव 6, समुच्चय A, B और C तीनों में हैं,
DCA, DC B, D CC.
प्रश्न 2.
ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन
सत्य है या असत्य है। यदि सत्य है, तो उसे सिद्ध
कीजिए । यदि असत्य है तो एक उदाहरण
दीजिए।
(i) यदि x ∈ A तथा Ae B, तो xe B
(ii) यदि A cB तथा BE C, तो Ae C
(iii) यदि Ac B तथा BCC, तो ACC
(iv) यदि ABBC, तो Ac C
(v) यदि x e A तथा Ag B, तो xe B
(vi) यदि Ac B तथा X B तो
हल:
(i) असत्य : मान लीजिए A = {1}, B = {{1}, 2}
स्पष्ट है कि 1 ∈ A, A ∈ B परंतु 1
समुच्चय B क्योंकि 1 B में नहीं है। इस प्रकार दिया हुआ कथन सत्य नहीं
है
(ii) असत्य : मान लीजिए A = {1}, B = {1, 2} और C =
{{1, 2}, 3}
समुच्चय A का अवयव समुच्चय B में हैं AE B
अवयव (1, 2) समुच्चय C में हैं BE C
पंरतु A = {1} समुच्चय C में नहीं है।
कथन AE C सत्य नहीं है।
(iii) सत्य : Ac B यदि x ∈ A तथा x E B
परंतु BCC यदि x ∈ B तब X EC
यदि x ∈ A तब x ∈ A तब x∈ C ACC
(iv) असत्य : मान लीजिए A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 2, 5}
समुच्चय A के सभी अवयव 1, 2 समुच्चय B में नहीं हैं।
A ¢ D
समुच्चय B के सभी अवयव 2, 3 समुच्चय C में नहीं हैं।
AcC
पंरतु समुच्चय A के सभी अवयव 1, 2 समुच्चय C में हैं।
AcC
इस प्रकार दिया कथन सत्य नहीं है।
(v) समुच्चय A = (1, 2}, B = {2, 3, 4, 5}
समुच्चय A का अवयव 1, 2 समुच्चय B में नहीं है ।
A & B
समुच्चय A का अवयव 1 समुच्चय B में नहीं हैं।
x B
इस प्रकार दिया गया कथन सत्य नहीं है।
(vi) सत्य : Ac B = यदि x ∈ A तब x ∈ B यदि X B तथाx A
इस प्रकार कथन A CB, XB तब X A सत्य हैं।
